14-16 ANNI · INTRODUZIONE AVANZATA
Introduzione alle derivate
Pendenza, polinomi e regola della catena.
Prima di iniziare: Avanzato: funzioni, potenze, algebra e idea di limite. L’età è indicativa.
Un primo incontro con la derivata
Percorso avanzato introduttivo. Servono funzioni, algebra, potenze e l’idea di limite; l’età non indica da sola se sei pronto.
La derivata descrive il tasso di variazione istantaneo. Nel grafico è la pendenza della tangente. Si ottiene come limite di [f(x+h) − f(x)]/h quando h tende a 0, se il limite esiste.
Per i polinomi: la derivata di axⁿ è a·n·x^(n−1), quella di una costante è zero e la derivata di una somma è la somma delle derivate.
Per una funzione composta si usa la regola della catena: la derivata di (ax+b)² è 2(ax+b)·a. Il fattore a deriva dalla funzione interna.
f′(t) è un valore: trova prima la funzione derivata, poi sostituisci x = t. Queste attività introducono alcune regole, non un corso completo di analisi.
108 esercizi in 3 tappe nel gioco. La scheda propone 3 esercizi con spazio per i passaggi. Gli esempi qui sotto mostrano il metodo.
TAPPA 1 · PRIMI PASSI
Per f(x) = 1x^2, quanto vale f′(1)?
La derivata di ax^n è a·n·x^(n−1).
- Applica la regola di potenza: f′(x) = 2x^1.
- Sostituisci x = 1: 2 × 1^1.
- f′(1) = 2, la pendenza della tangente in quel punto.
Risposta: 2
Prova questa tappaTAPPA 2 · IN CAMMINO
Per f(x) = 1x² + 2x + 3, quanto vale f′(-2)?
Deriva ogni termine; una costante ha derivata zero.
- Derivata di 1x²: 2x. Derivata di 2x: 2.
- La derivata di 3 è 0, quindi f′(x) = 2x + 2.
- f′(-2) = 2 × (-2) + 2 = -2.
Risposta: -2
Prova questa tappaTAPPA 3 · LA SFIDA
Per f(x) = (1x + 2)², quanto vale f′(1)?
Usa la regola della catena: deriva il quadrato e moltiplica per la derivata interna.
- Funzione interna: u = 1x + 2; u′ = 1.
- Derivata esterna: (u²)′ = 2u. Quindi f′(x) = 2(1x + 2) × 1.
- Sostituisci x = 1: 2 × 3 × 1 = 6.
Risposta: 6
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