AYOSU Learn

14-16 ANNI · INTRODUZIONE AVANZATA

Introduzione agli integrali

Primitive, costante C e integrali definiti.

Prima di iniziare: Avanzato: derivate, polinomi e frazioni. Prima studia la lezione sulle derivate.

Primitive e integrali definiti

Percorso avanzato introduttivo. Prima affronta le derivate; servono anche polinomi, frazioni e funzioni.

Una primitiva F di f soddisfa F′ = f. L’integrale indefinito raccoglie le primitive F(x) + C: derivare una costante dà zero.

Per un intero n ≥ 0, una primitiva di axⁿ è [a/(n+1)]x^(n+1). Aumenta l’esponente e dividi per il nuovo esponente.

Per le funzioni continue di questi esercizi, l’integrale definito da a a b si calcola F(b) − F(a). Le due costanti si cancellano.

Se f è non negativa su [a,b], con a ≤ b, l’integrale è l’area sotto il grafico. In generale è un’area con segno: le parti sotto l’asse x contribuiscono negativamente.

Gioca con questo argomentoScheda A4Soluzioni separate

108 esercizi in 3 tappe nel gioco. La scheda propone 3 esercizi con spazio per i passaggi. Gli esempi qui sotto mostrano il metodo.

TAPPA 1 · PRIMI PASSI

Trova una primitiva generale di 2x^1, cioè l’integrale indefinito.

Aumenta l’esponente di 1 e dividi il coefficiente per il nuovo esponente.

  1. Il nuovo esponente è 1 + 1 = 2.
  2. Il coefficiente diventa 2 ÷ 2 = 1.
  3. Ottieni x^2 + C. La costante C rappresenta tutte le primitive.
  4. Controllo: la derivata di x^2 + C è 2x^1.

Risposta: x^2 + C

Prova questa tappa

TAPPA 2 · IN CAMMINO

Calcola l’integrale definito di (1x + 2) da 0 a 2.

Trova una primitiva F, poi calcola F(b) − F(a).

  1. Una primitiva è F(x) = (1/2)x² + 2x.
  2. F(2) = (1/2) × 2² + 2 × 2 = 6.
  3. F(0) = 0; quindi l’integrale vale 6.
  4. La costante della primitiva si cancella nella differenza.

Risposta: 6

Prova questa tappa

TAPPA 3 · LA SFIDA

Calcola l’integrale definito di (1x + 2)² da 0 a 2.

Una primitiva è (ax+b)³/(3a), se a è diverso da zero.

  1. Una primitiva è F(x) = (1x + 2)³ / 3.
  2. F(2) = 4³ / 3; F(0) = 2³ / 3.
  3. Sottrai: (64 − 8) / 3 = 56/3.
  4. Qui la funzione è non negativa: l’integrale coincide con l’area sotto il grafico.

Risposta: 56/3

Prova questa tappa