14-16 ANNI · ESPLORA E RAGIONA
Equazioni di secondo grado
Radici, fattorizzazione e discriminante.
Prima di iniziare: Equazioni lineari, potenze e radici.
Risolvere un’equazione di secondo grado
La forma generale è ax² + bx + c = 0, con a diverso da zero. Il discriminante è Δ = b² − 4ac.
Se Δ > 0 ci sono due soluzioni reali; se Δ = 0 una soluzione reale doppia; se Δ < 0 non ci sono soluzioni reali.
Quando Δ ≥ 0, la formula è x = (−b ± √Δ)/(2a). Per alcune equazioni è più rapido scomporre in fattori e applicare la legge di annullamento del prodotto.
Controlla ciascuna soluzione sostituendola nell’equazione di partenza. Gli esercizi di questo percorso usano casi con radici reali.
108 esercizi in 3 tappe nel gioco. La scheda propone 3 esercizi con spazio per i passaggi. Gli esempi qui sotto mostrano il metodo.
TAPPA 1 · PRIMI PASSI
Quali sono tutte le soluzioni reali di x² = 1?
Un quadrato positivo ha due radici reali opposte.
- La radice positiva di 1 è 1.
- Anche (−1)² = 1.
- Le soluzioni sono x = −1 e x = 1.
Risposta: −1 e 1
Prova questa tappaTAPPA 2 · IN CAMMINO
Risolvi x² − 4x + 3 = 0.
Cerca due numeri con somma uguale al coefficiente opposto di x e prodotto uguale al termine noto.
- 1 + 3 = 4; 1 × 3 = 3.
- Fattorizza: (x − 1)(x − 3) = 0.
- Un prodotto è zero se almeno un fattore è zero: x = 1 oppure x = 3.
Risposta: 1 e 3
Prova questa tappaTAPPA 3 · LA SFIDA
Per x² − 4x + 3 = 0, quanto vale la differenza tra la radice maggiore e la minore?
Calcola il discriminante e poi le due radici.
- Δ = (4)² − 4 × 3 = 4.
- x = (4 ± √4) ÷ 2: le radici sono 1 e 3.
- Differenza: 3 − 1 = 2.
Risposta: 2
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